El hígado de Voronoi

Sin intención de generalizar, me parece que las matemáticas no se nos dan demasiado bien a los que nos dedicamos a la Medicina. La mayoría de mis colegas, y me incluyo, tendemos al anumerismo; tampoco es que en nuestro oficio diario necesitemos hacer cálculo infinitesimal ni geometría analítica. Las matemáticas que se aplican en nuestro oficio ya nos las dan «listas para usar» y, si de probabilidad y estadística se trata, recurrimos a esa especie protegida que son los epidemiólogos/bioestadísticos. La verdad es que me siento un bicho inferior cuando veo matemáticos o físicos desarrollando jeroglíficas ecuaciones.

Por suerte, dentro del gremio de los divulgadores científicos hay matemáticos que nos bajan la fruta del árbol para ponerla a nuestro alcance, por ejemplo el cachondo de Eduardo Sáenz de Cabezón (@edusadeci), o Clara Grima (@ClaraGrima), o Raúl Ibáñez (@mtpibtor), o Santi García Cremades (@SantiGarciaCC), o los chicuelos de la Universidad de Alicante (@DimatesUA) con su etiqueta #LasMatesNoSirvenPaNaPero.

Gracias a estos divulgadores me enteré de que había una cosa llamada diagramas de Voronoi, también llamados espacios o teselación de Voronoi. A pesar de la utilidad y universalidad de estos diagramas reconozco que no conocía al señor Voronoi hasta ver la abundante oferta divulgativa al respecto, por ejemplo «Cada uno en su región y Voronoi en la de todos» y «¿Está Voronoi? Que se ponga», ambos de la profesora Grima.

La visión de los espacios de Voronoi me resultó muy pero que muy familiar (y lo sería para cualquiera que haya estudiado histología). Pongamos una imagen habitual de este diagrama:

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Típica imagen de un diagrama de Voronoi (o teselación de Dirichlet o polígonos de Thiessen). Cada punto verde domina un área en el cual cada punto del plano está más cerca de éste que de los puntos verdes vecinos. Vía stackoverflow.com.

La asociación inmediata es con una superficie tapizada de células, exactamente como el endotelio corneal o como los cúmulos celulares de un raspado de Papanicolaou. Veremos que muchísimas estructuras biológicas se arreglan siguiendo un patrón voronoide.

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El diagrama anterior es perfectamente superponible sobre esta imagen clínica del endotelio corneal obtenida mediante microscopía confocal. Vía Fabio Scarpa (researchgate.net).

¿De qué van los espacios de Voronoi?

De nuevo remito al lector a los links arriba mencionados, pero resumiré su esencia con brocha gorda: es un sistema para compartimentar un plano o espacio en circunscripciones, de modo que cada «centro de circunscripción» tenga influencia sobre todos los puntos del área que estén más cerca de él que de otros centros. Por ejemplo, si en un mapa se señalan los aeropuertos y un avión debe aterrizar de urgencia, las regiones de Voronoi indicarán cuál es el aeropuerto más cercano.

Esto se aplica cotidianamente en la geolocalización, cuando le dices al Google o al Siri que te busque la heladería más cercana. Es una herramienta muy útil en la determinación de áreas de influencia. Ya te digo yo, sin embargo, que la 🐀Agencia Tributaria🐀 no lo aplica en sus oficinas, porque me mandan a una que queda en el quinto carajo cuando tengo otra muy cerca (qué rabia me da esta gente).

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Voronoi en biología

Como dijimos, muchos órganos y tejidos se estructuran siguiendo parcelaciones tipo Voronoi: las células de los recubrimientos epiteliales se adosan unas a otras formando un patrón poligonal; si vemos un corte transversal de fibras de músculo esquelético es claro tal patrón, lo mismo con los espacios del hueso trabecular; la venación de las alas de los insectos o las hojas de las plantas delimita espacios que siguen la distribución de Voronoi, y otro tanto pasa con las ramificaciones vasculares en los tejidos animales.

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Ejemplos biológicos de estructuras de Voronoi. Izquierda: sección transversal de tejido muscular estriado. Centro: hueso esponjoso visto en microscopía electrónica de barrido. Derecha: áreas delimitadas por las divisiones de las nervaduras de una hoja.

Pero quizás sea el hígado el órgano cuya estructura se ajusta más perfectamente a la teoría matemática de los espacios de Voronoi. El tejido hepático está formado por lobulillos que en un corte histológico tienen forma más o menos hexagonal y en el eje de cada lobulillo está una vena centrolobulillar que recoge toda la sangre de su lobulillo, respetando la segmentación voronoide. El árbol que recoge el drenaje de estas venas centrolobulillares acaba en las grandes venas suprahepáticas que desembocan en la cava inferior.

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Histología hepática en corte histológico. En el esquema se observa cómo los lobulillos hepáticos tienen una distribución voronoide, donde cada área está dominada por una vena centrolobulillar (A). En los vértices de las áreas están las tríadas portales (B) compuestas por ramas de la vena porta, la arteria hepática y la vía biliar. Si se hacen triangulaciones de Delaunay a partir de las venas centrales (líneas segmentadas azul claro) se aprecia cómo las tríadas portales quedan vecinas al centro de los triángulos.

En los vértices de los polígonos lobulillares están los espacios porta, donde discurren las tríadas portales: ramificaciones de la vena porta, la arteria hepática y la vía biliar. La ubicación de estas tríadas en los vértices facilita que sus vasos aporten sangre más o menos equitativamente a los lobulillos que lo circundan y que, igualmente, los colectores biliares recojan la bilis indistintamente de ellos, siguiendo un patrón similar a una triangulación de Delaunay. En un corte bidimensional es fácil asimilar esta estructura, pero es más complejo visualizar el adosamiento de los lobulillos en tres dimensiones; el común de los esquemas dibujan los lobulillos como salchichitas de cóctel apiñadas.

He aquí un órgano majestuoso cuya arquitectura se rige por principios matemáticos. La relación de los diagramas de Voronoi con la teoría de grafos y con los fractales también se cumple en los seres vivos.

Georgui Feodósievich Voronoi

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Georgui Voronoi (1868-1908), matemático ruso.

Este matemático nació en Ucrania en 1868 y falleció a los tiernos 40 años en 1908, en Varsovia; sin embargo, se considera de nacionalidad rusa pues esos territorios pertenecían entonces al imperio del Zar. Su padre era profesor de instituto y el chaval era muy estudiosito él. Hizo la carrera de Matemáticas en la Universidad de San Petersburgo entre 1885 y 1889. Allí también se doctoró y su tesis recibió el premio Bunyakovsky de la Academia de Ciencias de San Petersburgo.

A partir de 1894 fue profesor en la Universidad de Varsovia y del Instituto Politécnico. Trabajó en teoría de números, fracciones continuas (algoritmo de Voronoi), números de Bernoulli, integrales de números algebraicos, teoría de probabilidades, geometría analítica, funciones asintóticas, funciones cuadráticas perfectas y, por supuesto, en sus teselaciones epónimas, que fue uno de sus últimos trabajos.

A pesar de haber sido un trabajador empedernido, tuvo tiempo para su historia de amor con Olia Kritska, con quien tuvo seis churumbeles. En Voronoi se dio esa dupla de adicción absoluta al trabajo y mala salud, para que luego digan que el trabajo es sano. El año de su fallecimiento fue diagnosticado de cólicos biliares y sus médicos le recomendaron irse de prolongadas vacaciones al balneario checo de Karlsbad, cosa que el matemático —demostrando que no tenía ni una gota de sangre española— rechazó para seguir trabajando. Al final se agravó su afección hepatobiliar y murió traicionado por ese órgano cuya estructura se basa en sus matemáticas.

Su cuerpo fue embalsamado y trasladado a la cripta familiar en su pueblo natal, la villa ucraniana de Zhuravki, donde descansó en paz hasta 1932. Ese año la barbarie fanática de las colectivizaciones y el terrorismo de estado de Stalin llevó a los colectivos a destrozar la casa familiar y la cripta de los kulaks Voronoi; los restos de Georgui y su padre fueron tirados a la calle y posteriormente arrojados a una fosa común. Qué bonito, qué bello.

Para más información biográfica sobre Voronoi está este artículo de H. Syta y R. van de Weygaert de acceso libre.

Los diagramas de Voronoi se utilizan en investigación biomédica, por ejemplo en estructuras tridimensionales de proteínas y otras moléculas, patrones de crecimiento tumoral, organización celular tisular, contajes celulares, análisis de imágenes microscópicas o radiológicas o estudio de conexiones neuronales, entre otras cositas.

 

«Ceterum censeo Podemus esse delenda»